मान लीजिए $p$ और $p+2$ अभाज्य संख्याएँ हैं और $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}p! & (p+1)! & (p+2)! \\ (p+1)! & (p+2)! & (p+3)! \\ (p+2)! & (p+3)! & (p+4)!\end{array}\right|$ है। तो $\alpha$ और $\beta$ के अधिकतम मानों का योग,ताकि $p^{\alpha}$ और $(p+2)^{\beta}$,$\Delta$ को विभाजित करें,$........$ है।

$3 \times 3$ आव्यूहों $M$ और $N$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही $\text{नहीं}$ है/हैं?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} m & n \\ p & q \end{bmatrix}$,$d = |A| \neq 0$ और $|A - d(\operatorname{Adj} A)| = 0$ है। तो:

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$ वास्तविक प्रविष्टियों वाले दो $2 \times 1$ आव्यूह हैं,ताकि $A = XB$,जहाँ $X = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & k \end{bmatrix}$ और $k \in R$ है। यदि $a_1^2 + a_2^2 = \frac{2}{3}(b_1^2 + b_2^2)$ और $(k^2 + 1)b_2^2 \neq -2b_1b_2$ है,तो $k$ का मान ....... है।

यदि $A = \int_{1}^{\sin \theta} \frac{t}{1+t^2} dt$ और $B = \int_{1}^{\operatorname{cosec} \theta} \frac{1}{t(1+t^2)} dt$ है,तो $\left| \begin{array}{ccc} A & A^2 & B \\ e^{A+B} & B^2 & -1 \\ 1 & A^2+B^2 & -1 \end{array} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{x^2+7}{(x^2+1)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$ है, तो आव्यूह $\begin{bmatrix} A & B \\ C & \frac{2}{5} \end{bmatrix}$ का सारणिक ज्ञात कीजिए।