मान लीजिए a_1, a_2, a_3, a_4 वास्तविक संख्याए | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $S = (a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_4)^2+(a_4-a_1)^2$ है। वर्गों का विस्तार करने पर,$S = 2(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2) - 2(a_1a_2+a_2a_3+a_

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$(1.5, 2.5)$

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(B) मान लीजिए $S = (a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_4)^2+(a_4-a_1)^2$ है। वर्गों का विस्तार करने पर,$S = 2(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2) - 2(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_1)$ प्राप्त होता है। दिया गया है $a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2=1$,इसलिए $S = 2 - 2(a_1+a_3)(a_2+a_4)$ है। चूँकि $a_1+a_2+a_3+a_4=0$,इसलिए $a_2+a_4 = -(a_1+a_3)$ है। मान लीजिए $x = a_1+a_3$,तो $a_2+a_4 = -x$ है। अतः,$S = 2 - 2(x)(-x) = 2 + 2x^2$ है। $S$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $x^2$ को न्यूनतम करना होगा। कोशी-श्वार्ज़ असमिका के अनुसार,$x^2$ का न्यूनतम मान $0$ है। यदि $x=0$ है,तो $S = 2 + 2(0) = 2$ है। चूँकि $2$ अंतराल $(1.5, 2.5)$ में स्थित है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

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