ધારો કે x, y, z ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. નીચેન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) $x, y, z > 0$ માટે,આપણે દરેક શરતનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:$I.$ $x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) = 0$. $x+y+z > 0$ હોવાથ

Vedclass · Accepted Answer

માત્ર $I, II, IV$

Vedclass · Answer

(B) $x, y, z > 0$ માટે,આપણે દરેક શરતનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:$I.$ $x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) = 0$. $x+y+z > 0$ હોવાથી,આ સૂચવે છે કે $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 0$,તેથી $x=y=z$.$II.$ $x^3+y^2z+yz^2=3xyz$. $xyz$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = 3$ મળે છે. $AM$-$GM$ અસમતા દ્વારા,$\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{x^2}{yz} \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{z}{x}} = 3(1) = 3$. સમાનતા ત્યારે જ મળે જો $\frac{x^2}{yz} = \frac{y}{x} = \frac{z}{x}$ હોય,જે $x=y=z$ સૂચવે છે.$III.$ $x^3+y^2z+z^2x=3xyz$. જો $x=1, y=2, z=0.5$ લઈએ,તો $3.25 
eq 3$ મળે છે. આ શરત હંમેશા $x=y=z$ સૂચવતી નથી.$IV.$ $AM$-$GM$ દ્વારા,$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$. તેથી $(x+y+z)^3 \ge 27xyz$. સમાનતા ત્યારે જ મળે જો $x=y=z$ હોય.આમ,$I, II,$ અને $IV$ એ $x=y=z$ સૂચવે છે.

ધારો કે $x, y, z$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. નીચેનામાંથી કઈ શરત $x=y=z$ સૂચવે છે?
$I.$ $x^3+y^3+z^3=3xyz$
$II.$ $x^3+y^2z+yz^2=3xyz$
$III.$ $x^3+y^2z+z^2x=3xyz$
$IV.$ $(x+y+z)^3=27xyz$

Similar Questions

ધારો કે $(a-3)x^2+12x+(a+6)>0, \forall x \in R$ અને $a \in (\ell, \infty)$. જો $\alpha$ એ $a$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત હોય,તો $(\alpha-3)x^2+12x+(\ell+2)=0$ ના બીજ શું થાય?

ધારો કે $a, b, c$ અને $d$ કોઈપણ ચાર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. તો કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $a^{n} + b^{n} = c^{n} + d^{n}$ સાચું છે જો:

જો $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ હોય, તો $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $x$ વાસ્તવિક હોય,તો પદાવલિ $\frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module

ધારો કે $x, y, z$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. નીચેનામાંથી કઈ શરત $x=y=z$ સૂચવે છે?$I.$ $x^3+y^3+z^3=3xyz$$II.$ $x^3+y^2z+yz^2=3xyz$$III.$ $x^3+y^2z+z^2x=3xyz$$IV.$ $(x+y+z)^3=27xyz$