मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$,जहाँ $a, b, c$ पूर्णांक हैं। मान लीजिए $f(1) = 0$,$40 < f(6) < 50$,$60 < f(7) < 70$ और किसी पूर्णांक $t$ के लिए $1000t < f(50) < 1000(t+1)$ है। तो,$t$ का मान क्या है?

मान लीजिए $S = \{ \sin^2 2\theta : (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta)x^2 + (\sin 2\theta)x + (\sin^6 \theta + \cos^6 \theta) = 0 \text{ के वास्तविक मूल हैं} \}$। यदि $\alpha$ और $\beta$ समुच्चय $S$ के क्रमशः सबसे छोटे और सबसे बड़े अवयव हैं,तो $3((\alpha - 2)^2 + (\beta - 1)^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x^2+3(a+3)x-9a=0$ के मूल समान हैं और $a$ के विभिन्न मानों के लिए (जहाँ $a=-9$ के लिए मूल $\alpha$ है और $a=-1$ के लिए मूल $\beta$ है),तो व्यंजक $x^2+\alpha x-\beta$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $b$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है। मान लीजिए द्विघात समीकरण $2x^2 + bx + \frac{1}{b} = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। तो:

यदि $a, b, c, d$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $a + b + c + d = 2$,तो $M = (a + b)(c + d)$ किस संबंध को संतुष्ट करता है?

समीकरण $3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$ के वास्तविक हलों की संख्या क्या है?