माना f(x) = begin{cases} x^2 sin left(frac{1} | vedclass

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Question

(B) $x=0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}ight)$. चूंकि $|\sin(1/x)| \leq 1$,हमारे पास $|x^2

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$f$ सतत है लेकिन $f^{\prime}$ सतत नहीं है

Vedclass · Answer

(B) $x=0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}ight)$. चूंकि $|\sin(1/x)| \leq 1$,हमारे पास $|x^2 \sin(1/x)| \leq x^2$ है। स्क्वीज़ प्रमेय द्वारा,$\lim_{x 	o 0} f(x) = 0 = f(0)$. अतः,$f(x)$ $x=0$ पर सतत है।$x=0$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता: $f^{\prime}(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} h \sin(1/h) = 0$. चूंकि सीमा का अस्तित्व है,$f(x)$ $x=0$ पर अवकलनीय है और $f^{\prime}(0) = 0$.$x=0$ पर $f^{\prime}(x)$ की सांतत्यता: $x 
eq 0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} [x^2 \sin(1/x)] = 2x \sin(1/x) + x^2 \cos(1/x) (-1/x^2) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$.जैसे $x 	o 0$,$2x \sin(1/x) 	o 0$,लेकिन $\lim_{x 	o 0} \cos(1/x)$ का अस्तित्व नहीं है क्योंकि यह दोलन करता है। इसलिए,$\lim_{x 	o 0} f^{\prime}(x)$ का अस्तित्व नहीं है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ $x=0$ पर सतत नहीं है।

माना $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) & , x \neq 0 \\ 0 & , x=0 \end{cases}$. तो $x=0$ पर:

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सिद्ध कीजिए कि $f(x)=\cos \left(x^{2}\right)$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

वह बिंदु / बिंदु जहाँ फलन $f(x) = \frac{1}{x^2 - 5|x| + 6}$ असंतत है, उनकी संख्या है......

यदि $f(x) = \begin{cases} [x] + [-x], & x \neq 2 \\ \lambda, & x = 2 \end{cases}$ बिंदु $x = 2$ पर सतत है,तो $\lambda = $ (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

यदि $f(x) = |x - 2|$ है,तो

यदि $f(x) = \begin{cases} -x^3 + 1, & \text{यदि } -\infty < x \leq 1 \\ |x - 1| + \lambda, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$,तो:

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