सिद्ध कीजिए कि $f(x)=\cos \left(x^{2}\right)$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x)=\cos \left(x^{2}\right)$ है।
यह फलन $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है और $f$ को दो फलनों के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है,$f=g \circ h$,जहाँ $g(x)=\cos x$ और $h(x)=x^{2}$ है।
$[\because (g \circ h)(x)=g(h(x))=g(x^{2})=\cos(x^{2})=f(x)]$.
सबसे पहले यह सिद्ध करना होगा कि $g(x)=\cos x$ और $h(x)=x^{2}$ संतत फलन हैं।
यह स्पष्ट है कि $g$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। तब $g(c)=\cos c$ है।
$x=c+h$ रखें। यदि $x \to c$,तो $h \to 0$ होगा।
$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} \cos x = \lim_{h \to 0} \cos(c+h) = \lim_{h \to 0} [\cos c \cos h - \sin c \sin h]$.
$= \cos c \lim_{h \to 0} \cos h - \sin c \lim_{h \to 0} \sin h = \cos c \times 1 - \sin c \times 0 = \cos c$.
$\therefore \lim_{x \to c} g(x) = g(c)$ है। अतः,$g(x)=\cos x$ एक संतत फलन है।
अब,$h(x)=x^{2}$ है। स्पष्ट रूप से,$h$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $k$ एक वास्तविक संख्या है,तो $h(k)=k^{2}$ है।
$\lim_{x \to k} h(x) = \lim_{x \to k} x^{2} = k^{2} = h(k)$ है। अतः,$h$ एक संतत फलन है।
यह ज्ञात है कि यदि $g$ और $h$ संतत फलन हैं,तो उनका संयोजन $(g \circ h)$ भी संतत होता है।
चूँकि $g(x)=\cos x$ और $h(x)=x^{2}$ संतत हैं,इसलिए उनका संयोजन $f(x)=(g \circ h)(x)=\cos(x^{2})$ एक संतत फलन है।