मान लीजिए lambda_1, lambda_2,lambda के वे मान | vedclass

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Question

(B) एक बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जा

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$9$

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(B) एक बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।बिंदु $\left(\frac{5}{2}, 1, \lambdaight)$ और समतल $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ के लिए:$d_1 = \frac{|2(\frac{5}{2}) + 3(1) - 6(\lambda) + 7|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2}} = \frac{|5 + 3 - 6\lambda + 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{|15 - 6\lambda|}{7}$.बिंदु $(-2, 0, 1)$ और समतल $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ के लिए:$d_2 = \frac{|2(-2) + 3(0) - 6(1) + 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{|-4 - 6 + 7|}{7} = \frac{|-3|}{7} = \frac{3}{7}$.चूंकि $d_1 = d_2$,इसलिए $\frac{|15 - 6\lambda|}{7} = \frac{3}{7}$,जिसका अर्थ है $|15 - 6\lambda| = 3$.इसके दो मामले हैं:$15 - 6\lambda = 3 \Rightarrow 6\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 2$.$15 - 6\lambda = -3 \Rightarrow 6\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 3$.चूंकि $\lambda_1 > \lambda_2$,इसलिए $\lambda_1 = 3$ और $\lambda_2 = 2$.बिंदु $(\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_2, \lambda_1) = (3 - 2, 2, 3) = (1, 2, 3)$ है।बिंदु $P(1, 2, 3)$ की रेखा $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 7}{2}$ से दूरी $d = \frac{|\vec{AP} 	imes \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ है,जहाँ $A(5, 1, -7)$ रेखा पर एक बिंदु है और $\vec{v} = (1, 2, 2)$ दिशा सदिश है।$\vec{AP} = (1 - 5, 2 - 1, 3 - (-7)) = (-4, 1, 10)$.$\vec{AP} 	imes \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -4 & 1 & 10 \ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -18\hat{i} + 18\hat{j} - 9\hat{k}$.$|\vec{AP} 	imes \vec{v}| = \sqrt{(-18)^2 + 18^2 + (-9)^2} = 27$.$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$.$d = \frac{27}{3} = 9$.

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