माना $H_{n} = \frac{x^2}{1+n} - \frac{y^2}{3+n} = 1$,जहाँ $n \in N$ है। माना $k$,$n$ का सबसे छोटा सम मान है जिसके लिए $H_{k}$ की उत्केंद्रता (eccentricity) एक परिमेय संख्या है। यदि $l$,$H_{k}$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई है,तो $21l$ का मान $.......$ है।

अतिपरवलय $5x^2 - 6y^2 - 10x - 24y - 34 = 0$ की नाभियाँ (foci) ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $y = 2x + \lambda$ अतिपरवलय $36x^2 - 25y^2 = 3600$ की स्पर्श रेखा है,तो $\lambda = $

यदि सरल रेखा $(a-1)x - by + 4 = 0$ अतिपरवलय $xy = 1$ के अभिलंब है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

मान लीजिए कि $X$-अक्ष एक अतिपरवलय $H$ का अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) है और $Y$-अक्ष संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) है। यदि $H$ की उत्केंद्रता (eccentricity),दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ की उत्केंद्रता का व्युत्क्रम है,और यदि $(5, 4)$ अतिपरवलय $H$ पर स्थित एक बिंदु है,तो $H$ के अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई ज्ञात कीजिए।

एक अतिपरवलय का केंद्र मूल बिंदु पर है,यह $(4, 2)$ बिंदु से होकर गुजरता है और $x$-अक्ष पर इसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $4$ है। तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।