मान लीजिए y=y(x), y0,अवकल समीकरण (1+x^2) dy | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$.$(1+x^2) dx$ से भाग देने पर,हमें मिलता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2

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$e^{3\beta^{-1}} = e(3+2\sqrt{2})$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$.$(1+x^2) dx$ से भाग देने पर,हमें मिलता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}y - \frac{1}{1+x^2}y^2$.यह एक बर्नौली अवकल समीकरण है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y = -\frac{1}{1+x^2}y^2$.$y^2$ से भाग देने पर: $y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y^{-1} = -\frac{1}{1+x^2}$.मान लीजिए $t = y^{-1}$,तो $\frac{dt}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$.समीकरण में मान रखने पर: $-\frac{dt}{dx} - \frac{x}{1+x^2}t = -\frac{1}{1+x^2} \implies \frac{dt}{dx} + \frac{x}{1+x^2}t = \frac{1}{1+x^2}$.यह एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{x}{1+x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1+x^2)} = \sqrt{1+x^2}$.हल $t \cdot \sqrt{1+x^2} = \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \sqrt{1+x^2} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C$.चूंकि $t = \frac{1}{y}$,हमारे पास $\frac{\sqrt{1+x^2}}{y} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C$ है।$y(0)=1$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\sqrt{1}}{1} = \ln(0+1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C=1$.अतः,$\frac{\sqrt{1+x^2}}{y} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + 1 = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + \ln e = \ln(e(x + \sqrt{1+x^2}))$.$x = 2\sqrt{2}$ के लिए,$y = \beta$: $\frac{\sqrt{1+(2\sqrt{2})^2}}{\beta} = \ln(e(2\sqrt{2} + \sqrt{1+8})) = \ln(e(2\sqrt{2} + 3))$.$\frac{3}{\beta} = \ln(e(3+2\sqrt{2})) \implies e^{3\beta^{-1}} = e(3+2\sqrt{2})$.

मान लीजिए $y=y(x), y>0$,अवकल समीकरण $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$ का एक हल वक्र है। यदि $y(0)=1$ और $y(2\sqrt{2})=\beta$ है,तो

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