मान लीजिए f(x)=int_0^x g(t) log _eleft(frac{1 | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x)=\int_0^x g(t) \ln \left(\frac{1-t}{1+t}\right) d t$.चूंकि $g(t)$ एक विषम फलन है और $\ln \left(\frac{1-t}{1+t}\right)$ भी एक विषम

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$2$

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(C) दिया गया है $f(x)=\int_0^x g(t) \ln \left(\frac{1-t}{1+t}\right) d t$.चूंकि $g(t)$ एक विषम फलन है और $\ln \left(\frac{1-t}{1+t}\right)$ भी एक विषम फलन है,इसलिए उनका गुणनफल एक सम फलन है।हालाँकि,एक सम फलन का $0$ से $x$ तक का समाकलन एक विषम फलन देता है। अतः,$f(-x) = -f(x)$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक विषम फलन है।मान लीजिए $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(f(x) + \frac{x^2 \cos x}{1+e^x}\right) d x$.गुणधर्म $\int_a^b h(x) dx = \int_a^b h(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(f(-x) + \frac{(-x)^2 \cos(-x)}{1+e^{-x}}\right) d x$.चूंकि $f(x)$ विषम है,$f(-x) = -f(x)$. साथ ही,$\frac{x^2 \cos x}{1+e^{-x}} = \frac{x^2 \cos x \cdot e^x}{e^x+1}$.$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(f(x) - f(x) + \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} + \frac{x^2 e^x \cos x}{1+e^x}\right) d x = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x^2 \cos x d x$.चूंकि $x^2 \cos x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_0^{\pi / 2} x^2 \cos x d x$,इसलिए $I = \int_0^{\pi / 2} x^2 \cos x d x$.खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $I = [x^2 \sin x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} 2x \sin x d x = \frac{\pi^2}{4} - 2([-x \cos x]_0^{\pi / 2} + \int_0^{\pi / 2} \cos x d x) = \frac{\pi^2}{4} - 2(0 + [\sin x]_0^{\pi / 2}) = \frac{\pi^2}{4} - 2$.$\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^2 - \alpha$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

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