ધારો કે $f(x)=2^x-x^2, x \in R$. જો $m$ અને $n$ એ અનુક્રમે $y=f(x)$ અને $y=f^{\prime}(x)$ વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓની સંખ્યા હોય,તો $m+n$ નું મૂલ્ય શોધો.

વિધેય $f(x) = x^4 (12 \ln x - 7)$ માટે,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{x^2-3x-6}{x^2+2x+4}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $f$ એ અંતરાલ $(-2, -1)$ માં ઘટતું વિધેય છે
$(B)$ $f$ એ અંતરાલ $(1, 2)$ માં વધતું વિધેય છે
$(C)$ $f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે
$(D)$ $f$ નો વિસ્તાર $[-\frac{3}{2}, 2]$ છે

બહુપદી $f(x)=1+2x+3x^2+4x^3$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $s$ એ $f(x)$ ના તમામ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજનો સરવાળો છે અને $t=|s|$ છે.
$1.$ વાસ્તવિક સંખ્યા $s$ એ કયા અંતરાલમાં આવે છે?
$(A)$ $\left(-\frac{1}{4}, 0\right)$ $(B)$ $\left(-1,-\frac{3}{4}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{3}{4},-\frac{1}{2}\right)$ $(D)$ $\left(0, \frac{1}{4}\right)$
$2.$ વક્ર $y=f(x)$ અને રેખાઓ $x=0, y=0$ અને $x=t$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કયા અંતરાલમાં આવે છે?
$(A)$ $\left(\frac{3}{4}, 3\right)$ $(B)$ $\left(\frac{21}{64}, \frac{11}{16}\right)$
$(C)$ $(9,10)$ $(D)$ $\left(0, \frac{21}{64}\right)$
$3.$ વિધેય $f^{\prime}(x)$ એ:
$(A)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ માં વધતું અને $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ માં ઘટતું છે
$(B)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ માં ઘટતું અને $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ માં વધતું છે
$(C)$ $(-t, t)$ માં વધતું છે $(D)$ $(-t, t)$ માં ઘટતું છે
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

બે વિકલનીય વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ એવા છે કે જેથી તમામ $x \in (a,b)$ માટે $f''(x) > 0$ અને $g''(x) < 0$ થાય અને $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x) dx$ છે. જો $x = \alpha, \beta \in (a,b)$ $(\alpha < \beta)$ માટે $f(x) = g(x)$ હોય,તો:

જો $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$ કોઈ $c > 0$ માટે,તો સાબિત કરો કે $\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}$ એ $a$ અને $b$ થી સ્વતંત્ર અચળ છે.