मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण (1-x^2) dy = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2) dy = [xy + (x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}] dx$ है।$(1-x^2) dx$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^2} y = \frac{(x

Vedclass · Accepted Answer

$97$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2) dy = [xy + (x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}] dx$ है।$(1-x^2) dx$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^2} y = \frac{(x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}}{1-x^2}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{x}{1-x^2}$ और $Q(x) = \frac{(x^3+2) \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{x}{1-x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^2)} = \sqrt{1-x^2}$ है।सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।$y \sqrt{1-x^2} = \int \frac{(x^3+2) \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx + C = \sqrt{3} \int (x^3+2) dx + C$.$y \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} (\frac{x^4}{4} + 2x) + C$.चूँकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = \sqrt{3}(0) + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।अतः,$y \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} (\frac{x^4}{4} + 2x)$ है।$x = 1/2$ के लिए,$y \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3} (\frac{(1/2)^4}{4} + 2(1/2)) = \sqrt{3} (\frac{1}{64} + 1) = \sqrt{3} (\frac{65}{64})$ है।$y \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \frac{65}{64}$ है।$y = \frac{65}{32}$ है।चूँकि $m=65$ और $n=32$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $m+n = 65+32 = 97$ है।

Similar Questions

$x(x-1) \frac{dy}{dx} = x^3(2x-1) + (x-2)y$ का व्यापक हल है

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ का हल है,जहाँ $y(1)=0$ है। तो $y(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x-x^{3}) dy=(y+yx^{2}-3x^{4}) dx, x>2$ का हल है। यदि $y(3)=3$ है,तो $y(4)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि $y=y(t)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dt}+\alpha y=\gamma e^{-\beta t}$ का एक हल है,जहाँ $\alpha > 0, \beta > 0$ और $\gamma > 0$ है। तब $\lim_{t \rightarrow \infty} y(t)$ है:

अवकल समीकरण $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module