मान लीजिए $\alpha = 1^2 + 4^2 + 8^2 + 13^2 + 19^2 + 26^2 + \ldots$ $10$ पदों तक और $\beta = \sum_{n=1}^{10} n^4$ है। यदि $4\alpha - \beta = 55k + 40$ है,तो $k$ का मान . . . . . . है।

यदि $4^3+8^3+12^3+\ldots$ $n$ पदों तक $= k n^2(n+1)^2$ (सभी $n \in N$ के लिए),तो $k=$

यदि $\alpha, \beta$ ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ हैं कि $100^{\alpha} - 199\beta = (100)(100) + (99)(101) + (98)(102) + \ldots + (1)(199)$ है,तो $(\alpha, \beta)$ और मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{1^{2}+2^{2}}{3} + \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}}{4} + \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}}{5} + \dots$ $8$ पदों तक $=$

श्रेणी $1 \times 3^{2} + 2 \times 5^{2} + 3 \times 7^{2} + \dots$ के $10$ पदों का योग क्या है?

माना $a_1, a_2, a_3, \ldots$ एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a_1=7$ और सार्व अंतर $8$ है। माना $T_1, T_2, T_3, \ldots$ इस प्रकार हैं कि $T_1=3$ और $n \geq 1$ के लिए $T_{n+1}-T_n=a_n$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से $TRUE$ है/हैं?
$(A) T_{20}=1604$
$(B) \sum_{k=1}^{20} T_k=10510$
$(C) T_{30}=3454$
$(D) \sum_{k=1}^{30} T_k=35610$