मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण frac{d y}{d x | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=2 x(x+y)^3-x(x+y)-1$ है। माना $t = x+y$,तब $\frac{d t}{d x} = 1 + \frac{d y}{d x}$,अर्थात $\frac{d y}{d x} =

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$\frac{1}{2-\sqrt{e}}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=2 x(x+y)^3-x(x+y)-1$ है। माना $t = x+y$,तब $\frac{d t}{d x} = 1 + \frac{d y}{d x}$,अर्थात $\frac{d y}{d x} = \frac{d t}{d x} - 1$. समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d t}{d x} - 1 = 2xt^3 - xt - 1$,जो सरल होकर $\frac{d t}{d x} = x(2t^3 - t)$ हो जाता है। चरों को अलग करने पर: $\frac{d t}{2t^3 - t} = x dx$. आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{t(2t^2 - 1)} = \frac{-1}{t} + \frac{2t}{2t^2 - 1}$. समाकलन करने पर: $\int (\frac{2t}{2t^2 - 1} - \frac{1}{t}) dt = \int x dx$. $\frac{1}{2} \ln|2t^2 - 1| - \ln|t| = \frac{x^2}{2} + C$. $x=0, y=1$ के लिए $t=1$,अतः $C=0$. $\ln|\frac{\sqrt{2t^2 - 1}}{t}| = \frac{x^2}{2}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = e^{x^2}$. $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए $x^2 = \frac{1}{2}$,अतः $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = \sqrt{e}$. $2t^2 - 1 = t^2 \sqrt{e} \implies t^2(2 - \sqrt{e}) = 1 \implies t^2 = \frac{1}{2 - \sqrt{e}}$.

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