मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-\hat{i}-8\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{c}=4\hat{i}+c_2\hat{j}+c_3\hat{k}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{b} \times \vec{a}=\vec{c} \times \vec{a}$ है। यदि सदिश $\vec{c}$ और सदिश $3\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\tan^2 \theta$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए:

यदि $\Delta ABC$ में,$O$ और $O^{\prime}$ क्रमशः अंतःकेंद्र (incentre) और लंबकेंद्र (orthocentre) हैं,तो $\vec{O^{\prime}A} + \vec{O^{\prime}B} + \vec{O^{\prime}C}$ किसके बराबर है?

मान लीजिए कि तीन सदिश $\overrightarrow{a}=\alpha \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}$,$\vec{b}=5 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$,और $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ एक त्रिभुज बनाते हैं,जहाँ $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ है और त्रिभुज का क्षेत्रफल $5 \sqrt{6}$ है। यदि $\alpha$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है,तो $|\overrightarrow{c}|^2$ का मान क्या है?

यदि $|a|=3, |b|=4$ और $a$ तथा $b$ के बीच का कोण $120^{\circ}$ है,तो $|4a+3b|$ का मान ज्ञात कीजिए।

$OA$ और $OB$ क्रमशः $5$ और $6$ परिमाण वाले दो सदिश हैं। यदि $\angle BOA = 60^{\circ}$ है,तो $OA \cdot OB$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि दो इकाई सदिशों $\hat{a}$ और $\hat{b}$ के बीच का कोण $\theta, 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,$\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{65}}{9}\right)$ है। यदि सदिश $\vec{c} = 3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})$ है,तो $9(\vec{c} \cdot \hat{a}) - 3(\vec{c} \cdot \hat{b})$ का मान ज्ञात कीजिए।