ધારો કે f: R rightarrow R એક વિધેય છે જે f(x) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = \alpha$ થવું જોઈએ.પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ

Vedclass · Accepted Answer

$12$

Vedclass · Answer

(B) $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x ightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^+} f(x) = f(0) = \alpha$ થવું જોઈએ.પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ મેળવીએ:$\lim_{x ightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^-} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x ightarrow 0^-} \frac{2 \sin^2 x}{x^2} = 2 	imes 1^2 = 2$.તેથી,$\alpha = 2$.હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ મેળવીએ:$\lim_{x ightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{1 - \cos x}}{x} = \lim_{x ightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2 \sin^2 (x/2)}}{x} = \lim_{x ightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} |\sin(x/2)|}{x}$.અહીં $x > 0$ હોવાથી,$\sin(x/2) > 0$,તેથી $|\sin(x/2)| = \sin(x/2)$.$\lim_{x ightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} \sin(x/2)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} \sin(x/2)}{2(x/2)} = \frac{\beta \sqrt{2}}{2} = \frac{\beta}{\sqrt{2}}$.આને $\alpha = 2$ સાથે સરખાવતા,$\frac{\beta}{\sqrt{2}} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 2\sqrt{2}$.અંતે,$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4 + 8 = 12$.

Similar Questions

$f(x) = |x| - |x + 1|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f$ ના તમામ અસતત બિંદુઓ શોધો.

વિધેય $f(x) = \begin{cases} k(2x - x^2), & x < 0 \\ \cos x, & x \ge 0 \end{cases}$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે $k$ ની કિંમત શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module