मान लीजिए [t] उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता ह | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = [\frac{x}{2} + 3] - [\sqrt{x}]$ वहाँ असंतत है जहाँ $[\frac{x}{2} + 3]$ या $[\sqrt{x}]$ असंतत हैं।$1$. पद $[\frac{x}{2} + 3]$ तब असंतत

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$17$

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(A) फलन $f(x) = [\frac{x}{2} + 3] - [\sqrt{x}]$ वहाँ असंतत है जहाँ $[\frac{x}{2} + 3]$ या $[\sqrt{x}]$ असंतत हैं।$1$. पद $[\frac{x}{2} + 3]$ तब असंतत होता है जब $\frac{x}{2} + 3$ एक पूर्णांक हो।$x \in [0, 8]$ के लिए,$\frac{x}{2} + 3$ का मान $[3, 7]$ में होता है।अतः,$\frac{x}{2} + 3 \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$.$x$ के लिए हल करने पर: $\frac{x}{2} \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \implies x \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.$2$. पद $[\sqrt{x}]$ तब असंतत होता है जब $\sqrt{x}$ एक पूर्णांक हो।$x \in [0, 8]$ के लिए,$\sqrt{x} \in [0, \sqrt{8}] \approx [0, 2.82]$.अतः,$\sqrt{x} \in \{0, 1, 2\}$.$x$ के लिए हल करने पर: $x \in \{0, 1, 4\}$.$3$. $[0, 8]$ में असंतत बिंदुओं का समुच्चय $S$ इन बिंदुओं का संघ है:$S = \{0, 1, 2, 4, 6, 8\}$.हालाँकि,हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या किसी बिंदु पर जंप (jumps) रद्द हो जाते हैं।$x=0$ पर: $f(0) = [3] - [0] = 3$. $\lim_{x 	o 0^+} f(x) = 3$. संतत है।$x=4$ पर: $f(4) = [2+3] - [2] = 3$.$\lim_{x 	o 4^-} f(x) = [4.99] - [1.99] = 4 - 1 = 3$.$\lim_{x 	o 4^+} f(x) = [5.00...] - [2.00...] = 5 - 2 = 3$. संतत है।अतः,असंतत बिंदु $S = \{1, 2, 6, 8\}$ हैं।$S$ के तत्वों का योग $1 + 2 + 6 + 8 = 17$ है।

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वह $x$ का मान(मानों) जिसके लिए फलन $f(x) = \begin{cases} 1-x, & x < 1 \\ (1-x)(2-x), & 1 \leq x \leq 2 \\ 3-x, & x > 2 \end{cases}$ संतत नहीं है,वह है:

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