मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है जिसका क्षेत्रफल | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त चारों भुजाओं को स्पर्श करता है,समलंब चतुर्भुज $ABCD$ की ऊंचाई वृत्त का व्यास है,इसलिए $AD = 2r$.दि

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$2$

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(B) मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त चारों भुजाओं को स्पर्श करता है,समलंब चतुर्भुज $ABCD$ की ऊंचाई वृत्त का व्यास है,इसलिए $AD = 2r$.दिया गया है कि $AB = 2CD$,मान लीजिए $CD = x$,तो $AB = 2x$.समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $	ext{Area} = \frac{1}{2} 	imes (AB + CD) 	imes AD = 18$ है।मान रखने पर,$\frac{1}{2} 	imes (2x + x) 	imes 2r = 18$,जो $3xr = 18$ या $xr = 6$ में सरल हो जाता है।वृत्त का केंद्र $(r, r)$ है। भुजा $CD$ रेखा $y = 2r$ पर स्थित है और $AB$ रेखा $y = 0$ पर स्थित है। भुजा $AD$ $y$-अक्ष $(x = 0)$ पर स्थित है।वृत्त $AD$ को $(0, r)$ पर,$AB$ को $(r, 0)$ पर और $CD$ को $(r, 2r)$ पर स्पर्श करता है।मान लीजिए भुजा $BC$ वृत्त को किसी बिंदु पर स्पर्श करती है। केंद्र $(r, r)$ से रेखा $BC$ की दूरी $r$ होनी चाहिए।बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखा के गुण का उपयोग करते हुए,$B(2x, 0)$ से $AB$ पर स्पर्श बिंदु की दूरी $2x - r$ है,और $C(x, 2r)$ से $CD$ पर स्पर्श बिंदु की दूरी $x - r$ है।चूंकि $B$ और $C$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं समान हैं,इसलिए $	an 	heta = \frac{x-r}{r}$ और $	an(90^\circ - 	heta) = \frac{2x-r}{r}$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{x-r}{r} = \frac{r}{2x-r}$,जिसका अर्थ है $(x-r)(2x-r) = r^2$.$2x^2 - 3xr + r^2 = r^2 \Rightarrow 2x^2 - 3xr = 0$.चूंकि $x 
eq 0$,हमें $2x = 3r$ या $x = \frac{3r}{2}$ प्राप्त होता है।$x = \frac{3r}{2}$ को $xr = 6$ में रखने पर,$(\frac{3r}{2})r = 6$ $\Rightarrow r^2 = 4$ $\Rightarrow r = 2$ प्राप्त होता है।

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बिंदु $(5, 1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 6x - 4y - 3 = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है:

यदि $(1, a)$ और $(b, 2)$ वृत्त $x^2+y^2=25$ के सापेक्ष संयुग्मी बिंदु हैं,तो $4a+2b=$

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