मान लीजिए (x, y) इस प्रकार हैं कि sin ^{-1}(a | vedclass

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Question

(A) यदि $a=1, b=0$,तो $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$। चूँकि $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$,हमारे पास $\sin^{-1}(x) + \co

Vedclass · Accepted Answer

$A \rightarrow p; B \rightarrow q; C \rightarrow p; D \rightarrow s$

Vedclass · Answer

(A) यदि $a=1, b=0$,तो $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$। चूँकि $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$,हमारे पास $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) = 0$ है। इसका अर्थ है $\sin^{-1}(x) = -\cos^{-1}(y)$। $\sin^{-1}$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ और $\cos^{-1}$ का परिसर $[0, \pi]$ होने के कारण,यह $x^2+y^2=1$ की ओर ले जाता है। अतः,$(A) \rightarrow p$.$(B)$ यदि $a=1, b=1$,तो $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(xy) = \frac{\pi}{2}$। यह $\cos^{-1}(x) - \cos^{-1}(y) = \cos^{-1}(xy)$ है। दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर: $xy + \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = xy$,जिसका अर्थ है $(1-x^2)(1-y^2) = 0$,अर्थात $(x^2-1)(y^2-1) = 0$। अतः,$(B) \rightarrow q$.$(C)$ यदि $a=1, b=2$,तो $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(2xy) = \frac{\pi}{2}$। यह $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) = \sin^{-1}(2xy)$ में सरल हो जाता है। $\sin(A+B)$ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $x^2+y^2=1$ प्राप्त होता है। अतः,$(C) \rightarrow p$.$(D)$ यदि $a=2, b=2$,तो $\sin^{-1}(2x) + \cos^{-1}(y) + \cos^{-1}(2xy) = \frac{\pi}{2}$। यह $\sin^{-1}(2x) = \cos^{-1}(y) - \cos^{-1}(2xy)$ की ओर ले जाता है। इसे हल करने पर $(4x^2-1)(y^2-1) = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$(D) \rightarrow s$.

कॉलम $I$	कॉलम $II$
$(A)$ यदि $a=1$ और $b=0$,तो $(x, y)$	$(p)$ वृत्त $x^2+y^2=1$ पर स्थित है
$(B)$ यदि $a=1$ और $b=1$,तो $(x, y)$	$(q)$ $(x^2-1)(y^2-1)=0$ पर स्थित है
$(C)$ यदि $a=1$ और $b=2$,तो $(x, y)$	$(r)$ $y=x$ पर स्थित है
$(D)$ यदि $a=2$ और $b=2$,तो $(x, y)$	$(s)$ $(4x^2-1)(y^2-1)=0$ पर स्थित है

सूची-$I$	सूची-$II$
$A$. $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)+\sin ^{-1} \frac{1}{3}$	$I$. $k \pi \pm(-1)^k \frac{\pi}{6}, k \in Z$
$B$. $\sin ^{-1}\left(\frac{(-1)^n}{2}\right), n \in Z$	$II$. $k \pi \pm 1, k \in Z$
$C$. $\tan ^{-1}\left(\sec \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{4}\right)$	$III$. $\frac{3}{2}$
$D$. $\sin ^{-1}\|\sin x\|=\sqrt{\sin ^{-1}\|\sin x\|} \Rightarrow x \in$	$IV$. $\frac{3 \pi}{8}$
	$V$. $\frac{\pi}{2}$

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