मान लीजिए $A, B, C$ सम्मिश्र संख्याओं के तीन समुच्चय हैं जिन्हें नीचे परिभाषित किया गया है:
$A = \{z : \operatorname{Im}(z) \geq 1\}$
$B = \{z : |z - 2 - i| = 3\}$
$C = \{z : \operatorname{Re}((1 - i)z) = \sqrt{2}\}$
$1.$ समुच्चय $A \cap B \cap C$ में अवयवों की संख्या है:
$(A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) \infty$
$2.$ मान लीजिए $z, A \cap B \cap C$ में कोई बिंदु है। तब,$|z + 1 - i|^2 + |z - 5 - i|^2$ किसके बीच स्थित है:
$(A) 25 \text{ और } 29, (B) 30 \text{ और } 34, (C) 35 \text{ और } 39, (D) 40 \text{ और } 44$
$3.$ मान लीजिए $z, A \cap B \cap C$ में कोई बिंदु है और $w$ कोई ऐसा बिंदु है जो $|w - 2 - i| < 3$ को संतुष्ट करता है। तब,$|z| - |w| + 3$ किसके बीच स्थित है:
$(A) -6 \text{ और } 3, (B) -3 \text{ और } 6, (C) -6 \text{ और } 6, (D) -3 \text{ और } 9$

(B, C, D) $1.$ $A$ क्षेत्र $y \geq 1$ को दर्शाता है। $B$ केंद्र $(2, 1)$ और त्रिज्या $3$ वाला एक वृत्त है। $C$ रेखा $\operatorname{Re}((1-i)(x+iy)) = x+y = \sqrt{2}$ है।
वृत्त के समीकरण $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ में $y = \sqrt{2}-x$ प्रतिस्थापित करने पर $(x-2)^2 + (\sqrt{2}-x-1)^2 = 9$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर: $2x^2 - (2+2\sqrt{2})x - 2 - 2\sqrt{2} = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $y \geq 1$ वाला एक बिंदु मिलता है। अतः,अवयवों की संख्या $1$ है।
$2.$ मान लीजिए $z = x+iy$। व्यंजक $|(x+1)+i(y-1)|^2 + |(x-5)+i(y-1)|^2 = (x+1)^2 + (y-1)^2 + (x-5)^2 + (y-1)^2$ है।
चूंकि $z$ वृत्त $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ पर है,इसलिए $(y-1)^2 = 9 - (x-2)^2$ होता है।
यह मान प्रतिस्थापित करने पर,व्यंजक का मान $36$ आता है।
चूंकि $36, 35$ और $39$ के बीच है,इसलिए उत्तर $(C)$ है।
$3.$ चूंकि $|z-2-i|=3$ और $|w-2-i| < 3$ है,त्रिभुज असमिका के अनुसार $|z-w| < 6$ होता है।
$||z|-|w|| \leq |z-w|$ का उपयोग करने पर,$-6 < |z|-|w| < 6$ प्राप्त होता है।
$3$ जोड़ने पर,$-3 < |z|-|w|+3 < 9$ प्राप्त होता है।