मान लीजिए vec{a} और vec{b} दो इकाई सदिश इस प् | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ है।चूंकि $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} 	imes \vec{b})$ है,इ

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$3$

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(C) दिया गया है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ है।चूंकि $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} 	imes \vec{b})$ है,इसलिए हमारे पास $\vec{c} \cdot \vec{a} = x$ और $\vec{c} \cdot \vec{b} = y$ है।यह दिया गया है कि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,इसलिए $\vec{c} \cdot \vec{a} = |\vec{c}| |\vec{a}| \cos \alpha = 2(1) \cos \alpha = 2 \cos \alpha$ और $\vec{c} \cdot \vec{b} = 2 \cos \alpha$ है।अतः,$x = y = 2 \cos \alpha$ है।अब,$|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c} = (x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} 	imes \vec{b})) \cdot (x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} 	imes \vec{b}))$ है।चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} 	imes \vec{b}$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $|\vec{c}|^2 = x^2 + y^2 + |\vec{a} 	imes \vec{b}|^2$ है।चूंकि $|\vec{a} 	imes \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin 90^{\circ} = 1$ है,इसलिए हमें $4 = x^2 + y^2 + 1$ प्राप्त होता है।$x = y = 2 \cos \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,$4 = (2 \cos \alpha)^2 + (2 \cos \alpha)^2 + 1$ प्राप्त होता है।$4 = 4 \cos^2 \alpha + 4 \cos^2 \alpha + 1$ है।$3 = 8 \cos^2 \alpha$ है।अतः,$8 \cos^2 \alpha$ का मान $3$ है।

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यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ इकाई सदिश हैं और $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ है,तो $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान . . . . . . है। ($/2$ में)

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