मान लीजिए $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ दो सदिश हैं। एक सदिश $\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ पर विचार करें,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ है। यदि सदिश $(\vec{a} + \vec{b})$ पर $\vec{c}$ का प्रक्षेप $3\sqrt{2}$ है,तो $(\vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b})) \cdot \vec{c}$ का न्यूनतम मान क्या होगा?

यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\bar{a}|=\sqrt{31}, 4|\bar{b}|=|\bar{c}|=2$ और $2(\bar{a} \times \bar{b})=3(\bar{c} \times \bar{a})$ और यदि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है,तो $\left|\frac{\bar{a} \times \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{b}}\right|^2=$

यदि $ABCDEF$ एक नियमित षट्कोण है,और $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AF} = k \vec{AD}$ है,तो $k = \dots$

मान लीजिए $\triangle PQR$ एक त्रिभुज है। मान लीजिए $\vec{a}=\overline{QR}, \vec{b}=\overline{RP}$ और $\vec{c}=\overline{PQ}$ है। यदि $|\vec{a}|=12, |\vec{b}|=4\sqrt{3}$ और $\vec{b} \cdot \vec{c}=24$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A) \frac{|\vec{c}|^2}{2}-|\vec{a}|=12$
$(B) \frac{|\vec{c}|^2}{2}+|\vec{a}|=30$
$(C) |\vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}|=48\sqrt{3}$
$(D) \vec{a} \cdot \vec{b}=-72$

एक चतुर्भुज $ABCD$ में, बिंदु $P$, $DC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है और $Q$, $AC$ का मध्य बिंदु है। यदि $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{PQ}$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

सदिश $\frac{1}{3}(2i - 2j + k)$ है