यदि $ABCDEF$ एक नियमित षट्कोण है,और $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AF} = k \vec{AD}$ है,तो $k = \dots$

मान लीजिए $O$ मूलबिंदु है और $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,$\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \lambda\overline{OA})$ किसी $\lambda > 0$ के लिए है। यदि $|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{9}{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ $\overline{OC}$ का $\overline{OA}$ पर प्रक्षेप $-\frac{3}{2}$ है
$(B)$ त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{9}{2}$ है
$(C)$ त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{9}{2}$ है
$(D)$ $\overline{OA}$ और $\overline{OC}$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के बीच का न्यून कोण $\frac{\pi}{3}$ है

त्रिभुज $ABC$ में बिंदु $D, E, F$ भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ को क्रमशः $1:4, 3:2$ और $3:7$ के अनुपात में विभाजित करते हैं और बिंदु $K$ भुजा $AB$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो $(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF}) : \overrightarrow{CK}$ का मान क्या है?

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक नियमित षट्भुज $ABCDEF$ की दो आसन्न भुजाओं $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ को दर्शाते हैं,तो $\vec{AE} = \dots$

समतलीय बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},$ और $\vec{d}$ हैं,इस प्रकार कि $(\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ और $(\vec{b} - \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$ है। तब त्रिभुज $ABC$ का बिंदु $D$ है

यदि $\hat{a}, \hat{b}$ और $\hat{c}$ असमतलीय सदिश हैं और यदि $\hat{d}$ इस प्रकार है कि $\hat{d} = \frac{1}{x}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c})$ और $\hat{d} = \frac{1}{y}(\hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ जहाँ $x$ और $y$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{xy}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ का मान ज्ञात कीजिए।