मान लीजिए O मूलबिंदु है और overline{OA} = 2ha | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$।$|\overline{OA}| = \sqrt{2^2 + 2^2

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$A, B, C$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$।$|\overline{OA}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3$ और $|\overline{OB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$।$\overline{OA} \cdot \overline{OB} = (2)(1) + (2)(-2) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$,अतः $\overline{OA} \perp \overline{OB}$।$\overline{OB} 	imes \overline{OC} = \overline{OB} 	imes \frac{1}{2}(\overline{OB} - \lambda\overline{OA}) = \frac{1}{2}(\overline{OB} 	imes \overline{OB} - \lambda(\overline{OB} 	imes \overline{OA})) = \frac{\lambda}{2}(\overline{OA} 	imes \overline{OB})$।$|\overline{OB} 	imes \overline{OC}| = \frac{\lambda}{2} |\overline{OA}| |\overline{OB}| = \frac{\lambda}{2} (3)(3) = \frac{9\lambda}{2}$।दिया गया है $|\overline{OB} 	imes \overline{OC}| = \frac{9}{2}$,अतः $\frac{9\lambda}{2} = \frac{9}{2} \implies \lambda = 1$।इस प्रकार,$\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA})$।$(A)$ $\overline{OC}$ का $\overline{OA}$ पर प्रक्षेप $= \frac{\overline{OC} \cdot \overline{OA}}{|\overline{OA}|} = \frac{\frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA}) \cdot \overline{OA}}{3} = \frac{1}{6}(\overline{OB} \cdot \overline{OA} - |\overline{OA}|^2) = \frac{1}{6}(0 - 9) = -\frac{3}{2}$। कथन $(A)$ सत्य है।$(B)$ $	riangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{OA} 	imes \overline{OB}| = \frac{1}{2} |\overline{OA}| |\overline{OB}| = \frac{1}{2} (3)(3) = \frac{9}{2}$। कथन $(B)$ सत्य है।$(C)$ $	riangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AB} 	imes \overline{AC}|$। चूँकि $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA}) = \frac{1}{2}\overline{AB}$,तो $\overline{AB} = 2\overline{OC}$। $\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA}$।क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2\overline{OC} 	imes (\overline{OC} - \overline{OA})| = |\overline{OC} 	imes \overline{OC} - \overline{OC} 	imes \overline{OA}| = |\overline{OA} 	imes \overline{OC}| = |\overline{OA} 	imes \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA})| = \frac{1}{2} |\overline{OA} 	imes \overline{OB}| = \frac{9}{2}$। कथन $(C)$ सत्य है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ यदि $\vec{a}=\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{b}=-\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$ और $\vec{c}=2 \sqrt{3} \hat{k}$ एक त्रिभुज बनाते हैं,तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच त्रिभुज का आंतरिक कोण है	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ यदि $\int_a^b(f(x)-3 x) d x=a^2-b^2$ है,तो $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान है	$(q)$ $\frac{2 \pi}{3}$
$(C)$ $\frac{\pi^2}{\ln 3} \int_{1 / 6}^{5 / 6} \sec (\pi x) d x$ का मान है	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ $\|z\|=1, z \neq 1$ के लिए $\|\operatorname{Arg}(\frac{1}{1-z})\|$ का अधिकतम मान है	$(s)$ $\pi$
	$(t)$ $\frac{\pi}{2}$

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