ધારો કે $a, b$ અને $\lambda$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $P$ એ પરવલય $y^2 = 4 \lambda x$ ના નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ છે,અને ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ એ બિંદુ $P$ માંથી પસાર થાય છે. જો બિંદુ $P$ આગળ પરવલય અને ઉપવલયના સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

$PQ$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ની $P$ આગળની અભિલંબ જીવા છે,જ્યાં $A$ એ પરવલયનું શિરોબિંદુ છે. $P$ માંથી $AQ$ ને સમાંતર એક રેખા દોરવામાં આવે છે જે $x$-અક્ષને $R$ માં મળે છે. તો $AR$ ની લંબાઈ કેટલી થાય?

એક દ્વિઘાત બહુપદી $y = f(x)$ જેનો અચળ પદ $3$ છે,તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતી નથી કે છેદતી નથી અને રેખા $x = 1$ ની સાપેક્ષે સંમિત છે. બહુપદીના અગ્ર પદનો સહગુણક એકમ છે. કાર્ટેઝિયન લંબચોરસ યામ પદ્ધતિ $OXY$ માં પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $y = f(x)$ પર એક બિંદુ $A(x_1, y_1)$ જેનો $x$-યામ $x_1 = 1$ છે અને બિંદુ $B(x_2, y_2)$ જેનો $y$-યામ $y_2 = 11$ છે,આપેલ છે,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે. દ્વિઘાત બહુપદીનું શિરોબિંદુ શોધો.

બે અતિવલયો $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોના સમીકરણો છે:

ધારો કે $e_1$ અને $e_2$ એ સમીકરણ $x^2 - ax + 2 = 0$ ના બે ભિન્ન મૂળ છે.  ધારો કે ગણ  $S_1 = \{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ અને } e_2 \text{ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે} \} = (\alpha, \beta),$ અને  $S_2 = \{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ અને } e_2 \text{ અનુક્રમે ઉપવલય અને અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે} \} = (\gamma, \infty).$  તો $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ ની કિંમત શોધો.

જો લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ ના બિંદુ $t$ આગળનો અભિલંબ વક્રને ફરીથી $t_1$ બિંદુએ મળે,તો $t^3 t_1$ ની કિંમત કેટલી થાય?