मान लीजिए g_i: left[frac{pi}{8}, frac{3pi}{8} | vedclass

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Question

(C) $S_1$ के लिए,हमारे पास $S_1 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2 x dx$ है। गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें $S_1

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$2, 1.50$

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(C) $S_1$ के लिए,हमारे पास $S_1 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2 x dx$ है। गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें $S_1 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2(\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} - x) dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \cos^2 x dx$ प्राप्त होता है।इन दोनों को जोड़ने पर,$2S_1 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} (\sin^2 x + \cos^2 x) dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} 1 dx = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$।अतः,$S_1 = \frac{\pi}{8}$,इसलिए $\frac{16S_1}{\pi} = \frac{16}{\pi} \cdot \frac{\pi}{8} = 2$।$S_2$ के लिए,$S_2 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2 x |4x - \pi| dx$। समान गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$S_2 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2(\frac{\pi}{2}-x) |4(\frac{\pi}{2}-x) - \pi| dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \cos^2 x |\pi - 4x| dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \cos^2 x |4x - \pi| dx$।इन दोनों को जोड़ने पर,$2S_2 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} |4x - \pi| (\sin^2 x + \cos^2 x) dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} |4x - \pi| dx$।यह समाकलन दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल को दर्शाता है जिनका आधार $\frac{\pi}{8}$ और ऊँचाई $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $2S_2 = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{16}$।अतः,$S_2 = \frac{\pi^2}{32}$,इसलिए $\frac{48S_2}{\pi^2} = \frac{48}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^2}{32} = \frac{48}{32} = 1.5$।

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यदि $f(x) = \int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt$ और $g(x) = \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ है, तो $f(x) + g(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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