यदि f(x) = int_0^{sin^2 x} sin^{-1} sqrt{t} , | vedclass

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Question

(B) अवकलन के लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए:$f'(x) = \sin^{-1}(\sqrt{\sin^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2 x) = x \cdot (2 \sin x \cos x) = x \sin(2x)$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(B) अवकलन के लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए:$f'(x) = \sin^{-1}(\sqrt{\sin^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2 x) = x \cdot (2 \sin x \cos x) = x \sin(2x)$$g'(x) = \cos^{-1}(\sqrt{\cos^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos^2 x) = x \cdot (-2 \cos x \sin x) = -x \sin(2x)$अतः, $f'(x) + g'(x) = x \sin(2x) - x \sin(2x) = 0$.चूंकि अवकलज शून्य है, इसलिए $f(x) + g(x) = C$ (एक स्थिरांक)।$C$ का मान ज्ञात करने के लिए, $x = \frac{\pi}{4}$ रखें:$f(\frac{\pi}{4}) + g(\frac{\pi}{4}) = \int_0^{1/2} (\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t}) \, dt$चूंकि $\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t} = \frac{\pi}{2}$ होता है:$C = \int_0^{1/2} \frac{\pi}{2} \, dt = \frac{\pi}{2} [t]_0^{1/2} = \frac{\pi}{4}$.

यदि $f(x) = \int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt$ और $g(x) = \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ है, तो $f(x) + g(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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