मान लीजिए [t] महत्तम पूर्णांक leq t को दर्शात | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $I = \frac{2}{\pi} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (8[\operatorname{cosec} x] - 5[\cot x]) \, dx$ है। सबसे पहले,$I_1 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [\ope

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$14$

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(B) मान लीजिए $I = \frac{2}{\pi} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (8[\operatorname{cosec} x] - 5[\cot x]) \, dx$ है। सबसे पहले,$I_1 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [\operatorname{cosec} x] \, dx$ पर विचार करें। अंतराल $[\pi/6, 5\pi/6]$ में,$\operatorname{cosec} x \in [1, 2]$ होता है। विशेष रूप से,$x \in [\pi/6, 5\pi/6]$ के लिए $[\operatorname{cosec} x] = 1$ है। अतः,$I_1 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} 1 \, dx = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$। अब,$I_2 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [\cot x] \, dx$ पर विचार करें। गुणधर्म $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करते हुए,$I_2 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [\cot(\pi-x)] \, dx = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [-\cot x] \, dx$ प्राप्त होता है। $I_2$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I_2 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} ([\cot x] + [-\cot x]) \, dx$। गुणधर्म $[t] + [-t] = -1$ (यदि $t 
otin \mathbb{Z}$) का उपयोग करते हुए,$[\cot x] + [-\cot x] = -1$ प्राप्त होता है। $2I_2 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (-1) \, dx = -(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = -\frac{2\pi}{3}$। अतः,$I_2 = -\frac{\pi}{3}$। मान प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{2}{\pi} (8 \cdot I_1 - 5 \cdot I_2) = \frac{2}{\pi} (8 \cdot \frac{2\pi}{3} - 5 \cdot (-\frac{\pi}{3})) = \frac{2}{\pi} (\frac{16\pi}{3} + \frac{5\pi}{3}) = \frac{2}{\pi} (\frac{21\pi}{3}) = 14$।

मान लीजिए $[t]$ महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है। तब $\frac{2}{\pi} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (8[\operatorname{cosec} x] - 5[\cot x]) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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