मान लीजिए omega इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है | vedclass

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Question

(B,C,D) आव्यूह $P$ को $p_{ij} = \omega^{i+j}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।हम $P$ को दो स्तंभ सदिशों के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं: $P = uv^T$,जहाँ

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$56$

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(B,C,D) आव्यूह $P$ को $p_{ij} = \omega^{i+j}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।हम $P$ को दो स्तंभ सदिशों के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं: $P = uv^T$,जहाँ $u = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$ और $v = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$ है।अतः $P^2 = (uv^T)(uv^T) = u(v^Tu)v^T$ होगा।चूँकि $v^Tu = \sum_{k=1}^n \omega^{k+k} = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$,इसलिए $P^2 = 0$ तभी होगा जब $v^Tu = 0$ हो।योग $S = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $\omega^2$ और सार्व अनुपात $\omega^2$ है।$S = \omega^2 \frac{1-(\omega^2)^n}{1-\omega^2} = \omega^2 \frac{1-\omega^{2n}}{1-\omega^2}$।$S = 0$ तभी होगा जब $1 - \omega^{2n} = 0$ हो,जिसका अर्थ है $\omega^{2n} = 1$।चूँकि $\omega^3 = 1$,यह तब होता है जब $2n$,$3$ का गुणज हो,अर्थात $n$,$3$ का गुणज हो।अतः,$P^2 
eq 0$ तब होगा जब $n$,$3$ का गुणज न हो।विकल्पों की जाँच करने पर:$(A) 57 = 3 	imes 19$ ($3$ का गुणज है)$(B) 55$ ($3$ का गुणज नहीं है)$(C) 58$ ($3$ का गुणज नहीं है)$(D) 56$ ($3$ का गुणज नहीं है)इसलिए,$n = 55, 58, 56$ के लिए $P^2 
eq 0$ होगा।

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