ધારો કે $n_1 < n_2 < n_3 < n_4 < n_5$ એવા ધન પૂર્ણાંકો છે કે જેથી $n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=20$ થાય. તો આવી ભિન્ન ગોઠવણીઓ $(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5)$ ની સંખ્યા શોધો.

વિધેય $f(x) = ^{16 - x}C_{2x - 1} + ^{20 - 3x}P_{4x - 5}$ નો પ્રદેશ,જ્યાં સંજ્ઞાઓ તેમના સામાન્ય અર્થ ધરાવે છે,તે ગણ છે

$1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન સાથે બનાવી શકાય તેવી $6$ વડે વિભાજ્ય $3$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $.......$ છે.

$9$ દડા $9$ ખોખામાં મૂકવાના છે. $3$ ખોખા એટલા નાના છે કે જેમાં $5$ દડા મૂકી શકાતા નથી,તો દરેક ખોખામાં એક-એક દડો કેટલી રીતે મૂકી શકાય?

ત્રણ શાળાઓ અનુક્રમે $2, 4$ અને $6$ વિદ્યાર્થીઓને સમર કેમ્પમાં મોકલે છે. $12$ વિદ્યાર્થીઓને $1, 2, 3, 4, 5, 6$ નંબરવાળા $6$ રૂમમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે દરેક રૂમમાં બરાબર $2$ વિદ્યાર્થીઓ હોય અને બંને એક જ શાળાના હોય. વિદ્યાર્થીઓને રૂમમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $a_1, a_2, \ldots, a_n$ એ $n$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,જેમાંથી $p$ ધન છે અને બાકીની ઋણ છે. $j < k$ હોય તેવી ક્રમિત જોડીઓ $(j, k)$ ની સંખ્યા,જેના માટે $a_j a_k$ ધન હોય,તે $55$ છે. તેવી જ રીતે,$j < k$ હોય તેવી ક્રમિત જોડીઓ $(j, k)$ ની સંખ્યા,જેના માટે $a_j a_k$ ઋણ હોય,તે $50$ છે. તો,$p^2 + (n-p)^2$ નું મૂલ્ય શોધો.