વિધેય $f(x) = ^{16 - x}C_{2x - 1} + ^{20 - 3x}P_{4x - 5}$ નો પ્રદેશ,જ્યાં સંજ્ઞાઓ તેમના સામાન્ય અર્થ ધરાવે છે,તે ગણ છે

$37! = 2^{\alpha_2} \cdot 3^{\alpha_3} \cdot 5^{\alpha_5} \cdots 37^{\alpha_{37}}$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં,ગુણોત્તર $\alpha_3 : \alpha_5$ શું છે?

ધોરણ $10$ માં $5$ વિદ્યાર્થીઓ,ધોરણ $11$ માં $6$ વિદ્યાર્થીઓ અને ધોરણ $12$ માં $8$ વિદ્યાર્થીઓ છે. જો તેમની પાસેથી $10$ વિદ્યાર્થીઓની પસંદગી એવી રીતે કરવામાં આવે કે જેમાં દરેક ધોરણમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ વિદ્યાર્થીઓ હોય અને ધોરણ $10$ અને $11$ ના કુલ $11$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી વધુમાં વધુ $5$ વિદ્યાર્થીઓ હોય,તો તે રીતોની સંખ્યા $100k$ છે,તો $k$ ની કિંમત $......$ છે.

$5$ અલગ-અલગ રંગના દડાઓને $3$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાની કુલ રીતો કેટલી છે કે જેથી દરેક વ્યક્તિને ઓછામાં ઓછો એક દડો મળે?

બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો,જ્યાં $a \in \{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ અને $b \in \{1, 3, 5, \ldots, 99\}$,જેથી $a+b$ ને $23$ વડે ભાગતા શેષ $2$ મળે:

$1, 2, 3$ અને $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવેલી (અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય છે) $4$ અંકની સંખ્યાઓ જે $15$ વડે વિભાજ્ય હોય,તેની સંખ્યા $............$ છે.