मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन असमतलीय इकाई सदिश हैं,ताकि उनके प्रत्येक जोड़े के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ हो। यदि $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} = p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}$ है,जहाँ $p, q$ और $r$ अदिश हैं,तो $\frac{p^2 + 2q^2 + r^2}{q^2}$ का मान क्या है?

मान लीजिए $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \lambda\hat{j} + 4\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + (\lambda^2 - 1)\hat{k}$ समतलीय सदिश हैं। तो शून्येतर सदिश $\vec{a} \times \vec{c}$ क्या है?

यदि $\left[ {\vec a \,\vec b \,\vec c } \right] = 4$ है,तो $\left[ {\vec a \times \vec b, \vec b \times \vec c, \vec c \times \vec a } \right] = \dots$

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है। मान लीजिए $\overline{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} - \hat{k}$ और $\overline{OQ} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3x\hat{k}$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ और $x > 0$,इस प्रकार हैं कि $|\overline{PQ}| = \sqrt{20}$ और सदिश $\overline{OP}$,$\overline{OQ}$ के लंबवत है। यदि $\overline{OR} = 3\hat{i} + z\hat{j} - 7\hat{k}$,जहाँ $z \in \mathbb{R}$,$\overline{OP}$ और $\overline{OQ}$ के साथ समतलीय है,तो $x^2 + y^2 + z^2$ का मान ...... है।

यदि $a = -3i + 7j + 5k$,$b = -3i + 7j - 3k$,और $c = 7i - 5j - 3k$ एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन सह-आगामी किनारे हैं,तो इसका आयतन क्या है?

यदि $\overrightarrow x = 3\hat i - 6\hat j - \hat k$,$\overrightarrow y = \hat i + 4\hat j - 3\hat k$ और $\overrightarrow z = 3\hat i - 4\hat j - 12\hat k$ है,तो $\overrightarrow z$ पर $\overrightarrow x \times \overrightarrow y$ के प्रक्षेप का परिमाण ज्ञात कीजिए।