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Question

(B) दिया गया है $F(x) = \int_0^{x^2} f(\sqrt{t}) dt$। लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए,$F'(x) = f(\sqrt{x^2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = f(x) \cdot 2x$ प

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$e^4-1$

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(B) दिया गया है $F(x) = \int_0^{x^2} f(\sqrt{t}) dt$। लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए,$F'(x) = f(\sqrt{x^2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = f(x) \cdot 2x$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $F'(x) = f'(x)$,इसलिए $f'(x) = 2x f(x)$ है।यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x$।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = x^2 + C$ प्राप्त होता है।चूंकि $f(0) = 1$,इसलिए $\ln(1) = 0^2 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$।अतः,$\ln(f(x)) = x^2$,जिससे $f(x) = e^{x^2}$ प्राप्त होता है।अब,$F(x) = \int_0^{x^2} e^{(\sqrt{t})^2} dt = \int_0^{x^2} e^t dt = [e^t]_0^{x^2} = e^{x^2} - e^0 = e^{x^2} - 1$।इसलिए,$F(2) = e^{2^2} - 1 = e^4 - 1$।

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