मान लीजिए a, r, s, t अशून्य वास्तविक संख्याएँ | vedclass

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Question

(D,B) $1.$ चूँकि $PQ$ एक नाभीय जीवा है,$t \cdot t' = -1$,इसलिए $t' = -\frac{1}{t}$।$PK$ की ढाल $m_{PK} = \frac{2at - 0}{at^2 - 2a} = \frac{2at}{a(t^2-

Vedclass · Accepted Answer

$(D, B)$

Vedclass · Answer

(D,B) $1.$ चूँकि $PQ$ एक नाभीय जीवा है,$t \cdot t' = -1$,इसलिए $t' = -\frac{1}{t}$।$PK$ की ढाल $m_{PK} = \frac{2at - 0}{at^2 - 2a} = \frac{2at}{a(t^2-2)} = \frac{2t}{t^2-2}$ है।$QR$ की ढाल $m_{QR} = \frac{2ar - 2at'}{ar^2 - at'^2} = \frac{2a(r-t')}{a(r-t')(r+t')} = \frac{2}{r+t'}$ है।चूँकि $QR \parallel PK$,$m_{QR} = m_{PK} \implies \frac{2}{r+t'} = \frac{2t}{t^2-2}$।$r+t' = \frac{t^2-2}{t} = t - \frac{2}{t}$।$t' = -\frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r - \frac{1}{t} = t - \frac{2}{t} \implies r = t - \frac{1}{t} = \frac{t^2-1}{t}$ प्राप्त होता है।अतः,$1$ के लिए सही विकल्प $(D)$ है।$2.$ $P(at^2, 2at)$ पर स्पर्शरेखा $ty = x + at^2$ है।$S(as^2, 2as)$ पर अभिलंब $y = -sx + 2as + as^3$ है,या $y + sx = 2as + as^3$।दिया गया है कि $st = 1$,इसलिए $s = \frac{1}{t}$।अभिलंब का समीकरण $y + \frac{1}{t}x = 2a(\frac{1}{t}) + a(\frac{1}{t^3}) = \frac{2at^2+a}{t^3}$ हो जाता है।$ty + x = \frac{2at^2+a}{t^2}$।हमारे पास निकाय है:$ty - x = at^2$$ty + x = \frac{2at^2+a}{t^2}$दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2ty = at^2 + \frac{2at^2+a}{t^2} = \frac{at^4 + 2at^2 + a}{t^2} = \frac{a(t^2+1)^2}{t^2}$।$y = \frac{a(t^2+1)^2}{2t^3}$।अतः,$2$ के लिए सही विकल्प $(B)$ है।

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