मान लीजिए कि f धनात्मक वास्तविक अक्ष पर परिभा | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $g(x^3) = x^6 + x^7$. मान लीजिए $u = x^3$,तो $x = u^{1/3}$.इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(u) = (u^{1/3})^6 + (u^{1/3})^7 = u^2 + u^{

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(D) दिया गया है $g(x^3) = x^6 + x^7$. मान लीजिए $u = x^3$,तो $x = u^{1/3}$.इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(u) = (u^{1/3})^6 + (u^{1/3})^7 = u^2 + u^{7/3}$ प्राप्त होता है।कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$g'(x) = x f(x)$,इसलिए $f(x) = \frac{g'(x)}{x}$ है।$g(x) = x^2 + x^{7/3}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$g'(x) = 2x + \frac{7}{3}x^{4/3}$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = \frac{2x + \frac{7}{3}x^{4/3}}{x} = 2 + \frac{7}{3}x^{1/3}$ है।अब,$f(r^3) = 2 + \frac{7}{3}(r^3)^{1/3} = 2 + \frac{7}{3}r$ है।हमें $\sum_{r=1}^{15} f(r^3) = \sum_{r=1}^{15} (2 + \frac{7}{3}r) = \sum_{r=1}^{15} 2 + \frac{7}{3} \sum_{r=1}^{15} r$ की गणना करनी है।$= (2 	imes 15) + \frac{7}{3} 	imes \frac{15 	imes 16}{2} = 30 + \frac{7}{3} 	imes 120 = 30 + 7 	imes 40 = 30 + 280 = 310$.

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