मान लीजिए f : R rightarrow R एक दो बार अवकलनी | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 6$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: $[x F(x)]_0^2 - \int_0^2 F(x) dx = 6$ $

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$11$

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(B) दिया गया है कि $\int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 6$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: $[x F(x)]_0^2 - \int_0^2 F(x) dx = 6$ $2 F(2) - 0 - \int_0^2 F(x) dx = 6$। चूंकि $F(x) = x f(x)$,इसलिए $F(2) = 2 f(2) = 2(1) = 2$। अतः,$2(2) - \int_0^2 F(x) dx = 6 \implies \int_0^2 F(x) dx = 4 - 6 = -2$। अब,$\int_0^2 x^2 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ पर विचार करें। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $[x^2 F^{\prime}(x)]_0^2 - \int_0^2 2x F^{\prime}(x) dx = 40$ $4 F^{\prime}(2) - 2 \int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 40$। दिया गया मान $\int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 6$ प्रतिस्थापित करने पर: $4 F^{\prime}(2) - 2(6) = 40$ $4 F^{\prime}(2) - 12 = 40 4 F^{\prime}(2) = 52 F^{\prime}(2) = 13$। अंत में,$F^{\prime}(2) + \int_0^2 F(x) dx = 13 + (-2) = 11$।

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