$\int_{0}^{1/3} (\sum_{r=0}^{101} \{x + \frac{r}{3}\}) dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है)।

मान लीजिए $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} dx$,$I_2 = \int_0^{2\pi} \cos^6 x dx$,$I_3 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^3 x dx$,और $I_4 = \int_0^1 \ln \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx$. तो:

मान लीजिए $f(x)$ एक फलन है जो $f'(x) = f(x)$ को संतुष्ट करता है और $f(0) = 1$ है,तथा $g(x)$ एक फलन है जो $f(x) + g(x) = x^2$ को संतुष्ट करता है। समाकलन $\int_0^1 f(x)g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)$ एक फलन है जो $f^{\prime}(x)=f(x)$ को संतुष्ट करता है और $f(0)=1$ है,तथा $g(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f(x)+g(x)=x^2$ को संतुष्ट करता है,तो समाकलन $\int_0^1 f(x) g(x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {(t^2 + 2t + 2)dt}$ जहाँ $x$ उन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो असमिका $\log_{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{6x - x^2 - 8}) \ge 0$ को संतुष्ट करती हैं। यदि $f(x)$ का परिसर $[a, b]$ है,तो $(a + b)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ है,तो $n \in N$ का मान $\dots\dots$ है।