मान लीजिए f(x) एक फलन है जो f'(x) = f(x) को स | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f'(x) = f(x)$,अतः $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है

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इनमें से कोई नहीं

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(D) दिया गया है $f'(x) = f(x)$,अतः $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = ce^x$। चूंकि $f(0) = 1$,इसलिए $1 = ce^0$,जिससे $c = 1$ प्राप्त होता है। अतः $f(x) = e^x$। $f(x) + g(x) = x^2$ दिया गया है,इसलिए $g(x) = x^2 - e^x$। अब,हम समाकलन की गणना करते हैं: $\int_0^1 f(x)g(x) dx = \int_0^1 e^x(x^2 - e^x) dx = \int_0^1 (x^2 e^x - e^{2x}) dx$। $\int x^2 e^x dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) = e^x(x^2 - 2x + 2)$। निश्चित समाकलन का मान: $\int_0^1 x^2 e^x dx = [e^x(x^2 - 2x + 2)]_0^1 = e(1 - 2 + 2) - e^0(0 - 0 + 2) = e - 2$। $\int_0^1 e^{2x} dx$ का मान: $\int_0^1 e^{2x} dx = [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 = \frac{1}{2}(e^2 - 1)$। अतः,समाकलन का मान $(e - 2) - \frac{1}{2}(e^2 - 1) = e - 2 - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2} = e - \frac{1}{2}e^2 - \frac{3}{2}$ है।

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