यदि n(2n+1) int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 | vedclass

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Question

(B) माना $I_1 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx$ और $I_2 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ है।$I_2$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करन

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$24$

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(B) माना $I_1 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx$ और $I_2 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ है।$I_2$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:$I_2 = \int_{0}^{1} (1-x^n)^{2n+1} \cdot 1 dx$$= [x(1-x^n)^{2n+1}]_0^1 - \int_{0}^{1} x \cdot (2n+1)(1-x^n)^{2n} \cdot (-nx^{n-1}) dx$$= 0 - (2n+1)(-n) \int_{0}^{1} x^n (1-x^n)^{2n} dx$$= n(2n+1) \int_{0}^{1} (x^n - 1 + 1)(1-x^n)^{2n} dx$$= n(2n+1) [\int_{0}^{1} -(1-x^n)^{2n+1} dx + \int_{0}^{1} (1-x^n)^{2n} dx]$$I_2 = n(2n+1) [-I_2 + I_1]$$I_2 = -n(2n+1)I_2 + n(2n+1)I_1$$I_2(1 + 2n^2 + n) = n(2n+1)I_1$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{2n^2 + n + 1}{n(2n+1)}$.दिया गया है कि $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1177}{n(2n+1)}$,इसलिए $2n^2 + n + 1 = 1177$ है।$2n^2 + n - 1176 = 0$.द्विघात समीकरण को हल करने पर: $n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1176)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 9408}}{4} = \frac{-1 \pm 97}{4}$.चूँकि $n \in N$,इसलिए $n = \frac{96}{4} = 24$।

यदि $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ है,तो $n \in N$ का मान $\dots\dots$ है।

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$ 6\int_{0}^{\pi}|(\sin 3x+\sin 2x+\sin x)| dx $ का मान .... है।

यदि $m \in Z^{+}$,$n=2m$ और $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \, dx = K(m) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m x \, dx$ है,तो $\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m) =$

मान लीजिए $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,जहाँ $n$ एक अऋण पूर्णांक है। तो,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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