જો n(2n+1) int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I_1 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx$ અને $I_2 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$.$I_2$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$I_2 = \int_{0}^{1} (1-x

Vedclass · Accepted Answer

$24$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I_1 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx$ અને $I_2 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$.$I_2$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$I_2 = \int_{0}^{1} (1-x^n)^{2n+1} \cdot 1 dx$$= [x(1-x^n)^{2n+1}]_0^1 - \int_{0}^{1} x \cdot (2n+1)(1-x^n)^{2n} \cdot (-nx^{n-1}) dx$$= 0 - (2n+1)(-n) \int_{0}^{1} x^n (1-x^n)^{2n} dx$$= n(2n+1) \int_{0}^{1} (x^n - 1 + 1)(1-x^n)^{2n} dx$$= n(2n+1) [\int_{0}^{1} -(1-x^n)^{2n+1} dx + \int_{0}^{1} (1-x^n)^{2n} dx]$$I_2 = n(2n+1) [-I_2 + I_1]$$I_2 = -n(2n+1)I_2 + n(2n+1)I_1$$I_2(1 + 2n^2 + n) = n(2n+1)I_1$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{2n^2 + n + 1}{n(2n+1)}$.આપેલ છે કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1177}{n(2n+1)}$,તેથી $2n^2 + n + 1 = 1177$.$2n^2 + n - 1176 = 0$.દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1176)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 9408}}{4} = \frac{-1 \pm 97}{4}$.$n \in N$ હોવાથી,$n = \frac{96}{4} = 24$.

જો $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ હોય,તો $n \in N$ ની કિંમત $\dots\dots$ છે.

Similar Questions

શરત $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 2 \int_0^1 f(x) dx$ નું પાલન કરતા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \tan^{-1} x \, dx$. જો તમામ $n \geq 1$ માટે $a_{n} I_{n+2} + b_{n} I_{n} = c_{n}$ હોય, તો

લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module