मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {(t^2 + 2t + 2)dt}$ जहाँ $x$ उन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो असमिका $\log_{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{6x - x^2 - 8}) \ge 0$ को संतुष्ट करती हैं। यदि $f(x)$ का परिसर $[a, b]$ है,तो $(a + b)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{1/3} (\sum_{r=0}^{101} \{x + \frac{r}{3}\}) dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है)।

एक बहुपद फलन $f(x)$ जो शर्तों $f(x) = [f'(x)]^2$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ को संतुष्ट करता है,हो सकता है:

$\int_1^2 \log _2(x^3+1) dx + \int_1^{\log_2 9} (2^x-1)^{1/3} dx$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक . . . . . है।

यदि $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x) = a \sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$,$a \in R$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $[t]$,$t$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है। यदि $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ का अस्तित्व है,तो $\int_{0}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।