int_1^2 log _2(x^3+1) dx + int_1^{log_2 9} (2 | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = \log_2(x^3+1)$। तब $y = \log_2(x^3+1) \implies x^3+1 = 2^y \implies x = (2^y-1)^{1/3}$।अतः,$f^{-1}(x) = (2^x-1)^{1/3}$।दिया गया समाकल

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$5$

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(D) माना $f(x) = \log_2(x^3+1)$। तब $y = \log_2(x^3+1) \implies x^3+1 = 2^y \implies x = (2^y-1)^{1/3}$।अतः,$f^{-1}(x) = (2^x-1)^{1/3}$।दिया गया समाकलन $\int_a^b f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx = b f(b) - a f(a)$ के रूप में है।यहाँ $a=1$,$b=2$ है। $f(1) = \log_2(1^3+1) = \log_2 2 = 1$। $f(2) = \log_2(2^3+1) = \log_2 9$।अतः,समाकलन का मान $2 \cdot f(2) - 1 \cdot f(1) = 2 \log_2 9 - 1$ है।चूँकि $8 $2$ से गुणा करने पर,$6 $1$ घटाने पर,$5 विशेष रूप से,$2 \log_2 9 - 1 = \log_2 81 - 1 = \log_2 81 - \log_2 2 = \log_2(40.5)$।चूँकि $2^5 = 32$ और $2^6 = 64$,इसलिए $5 इस मान से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $5$ है।

$\int_1^2 \log _2(x^3+1) dx + \int_1^{\log_2 9} (2^x-1)^{1/3} dx$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक . . . . . है।

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