शर्त $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 2 \int_0^1 f(x) dx$ को संतुष्ट करने वाले सतत फलनों $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ की संख्या कितनी है?

यदि $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ और $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ है,तो $I_1 : I_2$ क्या है?

यह दिया गया है कि प्रत्येक $a \in (0,1)$ के लिए,सीमा $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ का अस्तित्व है। इसके अतिरिक्त,यह दिया गया है कि फलन $g(a)$ अंतराल $(0,1)$ पर अवकलनीय है।
$1.$ $g\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \pi$ $(B) 2\pi$ $(C) \frac{\pi}{2}$ $(D) \frac{\pi}{4}$
$2.$ $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \frac{\pi}{2}$ $(B) \pi$ $(C) -\frac{\pi}{2}$ $(D) 0$
$1$ और $2$ के लिए सही युग्म चुनें।

यदि $A_n = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} \cos^n x \, dx$ है,तो $\frac{A_4 - A_6}{A_4} = $

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जिसका अवकलज $f^{\prime}$ सतत है और $f(\pi)=-6$ है। यदि $F:[0, \pi] \rightarrow R$ को $F(x)=\int_0^{ x } f( t ) dt$ द्वारा परिभाषित किया गया है,और यदि $\int_0^\pi\left(f^{\prime}( x )+ F ( x )\right) \cos x dx =2$ है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)$ एक फलन है जो $f^{\prime}(x)=f(x)$ को संतुष्ट करता है और $f(0)=1$ है,तथा $g(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f(x)+g(x)=x^2$ को संतुष्ट करता है,तो समाकलन $\int_0^1 f(x) g(x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।