ધારો કે $f(x) = \int\limits_0^x {(t^2 + 2t + 2)dt}$ જ્યાં $x$ એ અસમતા $\log_{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{6x - x^2 - 8}) \ge 0$ નું સમાધાન કરતી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. જો $f(x)$ નો વિસ્તાર $[a, b]$ હોય,તો $(a + b)$ ની કિંમત શોધો.

$I(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$,જ્યાં $m, n > 0$ હોય,તો $I(9, 14) + I(10, 13)$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $f: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ એક સતત વિધેય છે જેથી $f(0)=1$ અને $\int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) dt = 0$ થાય. તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ સમીકરણ $f(x) - 3 \cos 3x = 0$ ને $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(B)$ સમીકરણ $f(x) - 3 \sin 3x = -\frac{6}{\pi}$ ને $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{1 - e^{x^2}} = -1$
$(D)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \int_0^x f(t) dt}{x^2} = -1$

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = a \sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$,$a \in R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. જો $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય,તો $\int_{0}^{4} f(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $F: R \rightarrow R$ એ ત્રણ વાર વિકલનીય વિધેય છે. ધારો કે $F(1)=0, F(3)=-4$ અને તમામ $x \in (1/2, 3)$ માટે $F^{\prime}(x) < 0$ છે. ધારો કે તમામ $x \in R$ માટે $f(x)=x F(x)$ છે.
$1.$ સાચું વિધાન(નો) છે:
$(A) f^{\prime}(1) < 0$
$(B) f(2) < 0$
$(C) \text{કોઈપણ }x \in (1,3) \text{માટે }f^{\prime}(x) \neq 0$
$(D)$ અમુક $x \in (1, 3)$ માટે $f^{\prime}(x)=0$
$2.$ જો $\int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = -12$ અને $\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ હોય,તો સાચું પદ(દો) છે:
$(A) 9 f^{\prime}(3)+f^{\prime}(1)-32=0$
$(B) \int_1^3 f(x) dx = 12$
$(C) 9 f^{\prime}(3)-f^{\prime}(1)+32=0$
$(D) \int_1^3 f(x) dx = -12$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.

ધારો કે $f^{\prime}(x)=\frac{192 x^3}{2+\sin ^4 \pi x}$ બધા $x \in R$ માટે,જ્યાં $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ છે. જો $m \leq \int_{1 / 2}^1 f(x) d x \leq M$ હોય,તો $m$ અને $M$ ની શક્ય કિંમતો કઈ છે?