एक बहुपद फलन f(x) जो शर्तों f(x) = [f'(x)]^2 | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। चूंकि $f(x) = [f'(x)]^2$,हमारे पास $ax^2 + bx + c = (2ax + b)^2 = 4a^2x^2 + 4abx + b^2$ है। गुणांकों की तुलना करने

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$(B)$ और $(C)$ दोनों

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(D) माना $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। चूंकि $f(x) = [f'(x)]^2$,हमारे पास $ax^2 + bx + c = (2ax + b)^2 = 4a^2x^2 + 4abx + b^2$ है। गुणांकों की तुलना करने पर: $a = 4a^2 \Rightarrow a = \frac{1}{4}$ ($a 
eq 0$ होने के कारण),$b = 4ab \Rightarrow b = 4(\frac{1}{4})b = b$ (हमेशा सत्य),और $c = b^2$। अतः $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + bx + b^2$। अब,$\int_{0}^{1} (\frac{1}{4}x^2 + bx + b^2) dx = [\frac{x^3}{12} + \frac{bx^2}{2} + b^2x]_{0}^{1} = \frac{1}{12} + \frac{b}{2} + b^2$। दिया गया है कि $\frac{1}{12} + \frac{b}{2} + b^2 = \frac{19}{12} \Rightarrow b^2 + \frac{b}{2} - \frac{18}{12} = 0 \Rightarrow b^2 + \frac{b}{2} - \frac{3}{2} = 0$। $2$ से गुणा करने पर: $2b^2 + b - 3 = 0 \Rightarrow (2b + 3)(b - 1) = 0$। इस प्रकार $b = 1$ या $b = -\frac{3}{2}$। यदि $b = 1$,तो $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$। यदि $b = -\frac{3}{2}$,तो $f(x) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + (-\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{4}$। दोनों विकल्प $(B)$ और $(C)$ शर्तों को संतुष्ट करते हैं।

एक बहुपद फलन $f(x)$ जो शर्तों $f(x) = [f'(x)]^2$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ को संतुष्ट करता है,हो सकता है:

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$\alpha$ के वे मान जो $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha \in [0, 2\pi]$,वे हैं:

माना $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$. तो $\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ है,तो (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n \in N$):

यदि $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

संख्याएँ $P, Q$ और $R$ जिनके लिए फलन $f(x) = P{e^{2x}} + Q{e^x} + Rx$ शर्तों $f(0) = -1$,$f'(\log 2) = 31$ और $\int_0^{\log 4} [f(x) - Rx] \, dx = \frac{39}{2}$ को संतुष्ट करता है,वे हैं

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