मान लीजिए कि vec{a} और vec{b} समान परिमाण के | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|-|\vec{a}-\vec{b}|}=\sqrt{2}+1$। योगान्तरानुपात (componendo and dividendo

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$2+\sqrt{2}$

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(C) दिया गया है $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|-|\vec{a}-\vec{b}|}=\sqrt{2}+1$। योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर: $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|}{|\vec{a}-\vec{b}|} = \frac{(\sqrt{2}+1)+1}{(\sqrt{2}+1)-1} = \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (1+\sqrt{2})^2 |\vec{a}-\vec{b}|^2$। $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (3+2\sqrt{2}) |\vec{a}-\vec{b}|^2$। माना $|\vec{a}| = |\vec{b}| = k$। $2k^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = (3+2\sqrt{2})(2k^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b})$। $2k^2$ से विभाजित करने पर: $1 + \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2} = (3+2\sqrt{2})(1 - \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2})$। माना $x = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2}$। $1+x = 3+2\sqrt{2} - (3+2\sqrt{2})x$। $x(4+2\sqrt{2}) = 2+2\sqrt{2}$। $x = \frac{2+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$। अब,$\frac{|\vec{a}+\vec{b}|^2}{|\vec{a}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2} = 1 + 1 + 2x = 2 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2+\sqrt{2}$।

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