माना y(x) अवकल समीकरण x^2 frac{dy}{dx} + xy = | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$ है। $x^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 1 + (\frac{y}{x})^2$. माना $v =

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$0.75$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$ है। $x^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 1 + (\frac{y}{x})^2$. माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$। समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} + v = 1 + v^2$। $x \frac{dv}{dx} = 1 + v^2 - 2v = (v - 1)^2$। चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dv}{(v - 1)^2} = \int \frac{dx}{x}$। $-\frac{1}{v - 1} = \ln|x| + C$। $v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x}{y - x} = \ln x + C$,जो सरल होकर $\frac{x}{x - y} = \ln x + C$ हो जाता है। $y(1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{1 - 0} = \ln(1) + C \Rightarrow C = 1$। अतः,$\frac{x}{x - y} = \ln x + 1 = \ln(ex)$। $y(e)$ के लिए: $\frac{e}{e - y(e)} = \ln(e^2) = 2 \Rightarrow e = 2e - 2y(e) \Rightarrow y(e) = \frac{e}{2}$। $y(e^2)$ के लिए: $\frac{e^2}{e^2 - y(e^2)} = \ln(e^3) = 3 \Rightarrow e^2 = 3e^2 - 3y(e^2) \Rightarrow 3y(e^2) = 2e^2 \Rightarrow y(e^2) = \frac{2e^2}{3}$। अंत में,$2 \frac{(y(e))^2}{y(e^2)} = 2 \frac{(e/2)^2}{2e^2/3} = 2 \cdot \frac{e^2/4}{2e^2/3} = 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$।

माना $y(x)$ अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$,$x > \frac{1}{e}$,का हल है,जो $y(1) = 0$ को संतुष्ट करता है। तो $2 \frac{(y(e))^2}{y(e^2)}$ का मान $....$ है।

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