अवकल समीकरण $(x \,dy-y \,dx) y\, \sin \left(\frac{y}{x}\right)=(y \,dx+x\, dy) x\, \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ को हल कीजिए।

(N/A) दिया गया अवकल समीकरण $(x \,dy-y \,dx) y\, \sin \left(\frac{y}{x}\right)=(y \,dx+x\, dy) x\, \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$[x y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\frac{y}{x}\right)] dy = [x y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)] dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right) + (\frac{y}{x})^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) - \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ $(1)$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^{2} \sin v}{v \sin v - \cos v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^{2} \sin v}{v \sin v - \cos v} - v = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{v \sin v - \cos v}{v \cos v} dv = \frac{2}{x} dx$
$(\tan v - \frac{1}{v}) dv = \frac{2}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \tan v \, dv - \int \frac{1}{v} dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$
$\ln |\sec v| - \ln |v| = 2 \ln |x| + C$
$\ln |\frac{\sec v}{v}| = \ln |x^{2}| + C$
$\frac{\sec v}{v} = C x^{2}$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\frac{\sec(y/x)}{y/x} = C x^{2} \implies \sec(y/x) = C xy$.