मान लीजिए f(x) = begin{cases} x+a sqrt{2} sin | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर होनी चाहिए:$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^-} (x +

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$a=\frac{\pi}{6}, b=\frac{-\pi}{12}$

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(A) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर होनी चाहिए:$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4} + a$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b) = 2\left(\frac{\pi}{4}\right) \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) + b = \frac{\pi}{2} + b$उन्हें बराबर करने पर: $\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4} \quad \dots(1)$$f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर होनी चाहिए:$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = 2\left(\frac{\pi}{2}\right) \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} \cot x + b = \pi(0) + b = b$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x) = a \cos(\pi) - b \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a - b$उन्हें बराबर करने पर: $b = -a - b \implies a + 2b = 0 \implies a = -2b \quad \dots(2)$$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x+a \sqrt{2} \sin x, & 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \\ 2x \cot x+b, & \frac{\pi}{4} \leq x < \frac{\pi}{2} \\ a \cos 2x-b \sin x, & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi \end{cases}$। यदि $f(x)$,$0 \leq x \leq \pi$ के लिए सतत है,तो:

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{a \sin x - b x + c x^2 + x^3}{2 \log(1+x) - 2x + x^2 - \frac{2}{3}x^3} &, x \neq 0 \\ 0 &, x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $a, b, c$ के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।

यदि वास्तविक मान फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{(4^x - 1)^4 \cot(x \log 4)}{\sin(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है, तो $e^k = $

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx}}{x} & ; -1 \leq x < 0 \\ \frac{2x+1}{x-1} & ; 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} |x|+3, & \text{यदि } x \leq -3 \\ -2x, & \text{यदि } -3 < x < 3 \\ 6x+2, & \text{यदि } x \geq 3 \end{cases}$. $x = -3$ और $x = 3$ पर $f(x)$ की सांतत्यता निर्धारित करें।

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