ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ x frac{dy}{dx}+y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx}+y=x \log x$ છે. $x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x} y=\log x$ મળે છે. આ $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ સ્

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{e}{4}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx}+y=x \log x$ છે. $x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x} y=\log x$ મળે છે. આ $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x)=\frac{1}{x}$ અને $Q(x)=\log x$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$ છે. વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે. કિંમતો મૂકતા,$xy = \int x \log x dx + c$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \log x dx = \log x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$. તેથી,$xy = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$. આપેલ છે કે $2(y(2)) = \log 4 - 1$,જેનો અર્થ છે કે $y(2) = \frac{1}{2} \log 4 - \frac{1}{2} = \log 2 - \frac{1}{2}$. વ્યાપક ઉકેલમાં $x=2$ મૂકતા: $2(\log 2 - \frac{1}{2}) = \frac{4}{2} \log 2 - \frac{4}{4} + c$. $2 \log 2 - 1 = 2 \log 2 - 1 + c$,જે આપણને $c=0$ આપે છે. આમ,$y = \frac{x}{2} \log x - \frac{x}{4}$. $x=e$ માટે,$y(e) = \frac{e}{2} \log e - \frac{e}{4} = \frac{e}{2} - \frac{e}{4} = \frac{e}{4}$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx}+y=x \log x, (x > 1)$ નો ઉકેલ છે. જો $2(y(2))=\log 4-1$ હોય,તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $\tan x$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) હોય, તો $P$ શું હોઈ શકે?

જો $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6 x$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોય,તો વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module